Katrol dan Benda Dalam Gerak Rotasi Pada Bidang Datar Fisika

Jika dua benda bermassa m1 dan m2 yang dihubungkan dengan seutas tali, kemudian m1 diletakkan pada bidang datar atau mendatar. Tali penghubung kedua benda dililitkan pada sebuah katrol yang berjari-jari R. Mula-mula sistem tersebut ditahan dalam kondisi diam, kemudian dilepaskan sehingga menyebabkan katrol ikut berputar atau berotasi.

Jika keadaan bidang permukaan dapat berupa bidang kasar dan licin. Tingkat kekasaran atau licin suatu bidang datar dinamakan sebagai koefisien gesek. Misalnya massa benda m2 lebih besar dari massa benda m1, maka gerak sistem akan searah dengan gerak benda bermassa yang lebih besar atau m2. Sistem benda dan katrol ini disebut dengan pesawat Atwood, sedangkan katrol berbentuk silinder atau dianggap sebagai silinder pejal atau silinder tipis yang bermassa Mk dan berjari-jari R.

Benda bermassa lebih besar (m2) berlaku Hukum II Newton sebagai berikut:
                  EF = m2.a
          w2 - T2 = m2.a
       m2.g - T2 = m2.a
                   T2 = m2.g - m2.a
(T2 merupakan tegangan tali pada massa yang lebih besar)

Benda yang bermassa lebih kecil (m1) berada di bidang datar yang memiliki koefisien gesek (uk) menimbulkan gaya gesek (fk), maka berlaku Hukum II Newton sebagai berikut:
                       EF = m1.a
                 T1 - fk = m1.a
      T1 - uk.m1.g = m1.a
                        T1 = uk.m1.g + m1.a

dengan T1 merupakan tegangan tali pada massa yang kecil.
Ditinjau pada sistem katrol berlaku momen gaya atau torsi dari T1 dan T2 berlaku:
                       Et = I.α
       T2.R - T1.R = I.α

Jika katrol dianggap silinder pejal dengan momen inersia I = ½.Mk.R²  dan α = a/R, maka diperoleh:
     T2.R - T1.R = ½.Mk.R² . a/R
      (T2 - T1).R = ½.Mk.R² . a/R
             T2 - T1= ½.Mk . a
dengan  mengganti T2 dan T1 maka persamaan menjadi:
   (m2.g - m2.a) - (uk.m1.g + m1.a) = ½.Mk.a
m2.g - m2.a - uk.m1.g - m1.a = ½.Mk.a
m2.g - uk.m1.g = ½.Mk.a + m2.a + m1.a
m2.g - uk.m1.g = (½.Mk + m2 + m1). a
maka diperoleh:
(m2.g - uk.m1.g) / (½.Mk + m2 + m1) = a
                      atau
a = (m2.g - uk.m1.g) / (½.Mk + m2 + m1)
(a merupakan percepatan linier gerak sistem tersebut).

Maka rumus untuk menghitung sebuah benda digantung dan dihubungkan dengan benda lain yang diletakkan pada bidang datar dan sebuah katrol:

• Percepatan sistem  dua benda bergerak diletakkan di bidang datar atau mendatar yang dihubungkan tali pada katrol adalah  a = (m2.g - uk.m1.g) / (½.Mk + m2 + m1)
• Percepatan sudut sistem tersebut saat berputar adalah α = a/R.
• Tegangan tali yang menghubungkan kedua benda dan katrol yang meliputi teganan tali T1 dan T2 dapat menggunakan rumus yaitu T1 = uk.m1.g + m1.a dan T2 = m2.g - m2.a
• Jarak atau ketinggian yang ditempuh benda m2 yang digantung pada katrol setelah t detik dari saat dilepaskan adalah h = ½.a.t².
• Waktu yang diperlukan dalam mencapai jarak h meter dari saat dilepaskan hingga benda m2 menempuh h meter adalah t = √2h/a.
• Kecepatan benda m2 (v) setelah bergerak selama t detik dari saat dilepaskan adalah v = a.t.
• Kecepatan sudut putar katrol tersebut setelah bergerak selama t detik dari saat dilepaskan adalah omega w = α.t.

Soal dan penyelesaian katrol, beban di bidang datar licin atau kasar.
1. Sebuah pesawat Atwood terdiri dari katrol yang dianggap sebagai silinder pejal dan bermassa  10 kg dan dihubungkan dua benda m1 bermassa 50 kg dan benda m2 bermassa 200 kg. Jika percepatan gravitasi dianggap 10 m/s² dan katrol berjari-jari 50 cm serta antara balok beban m1 dan bidang datar terjadi gaya gesek dengan koefisien gesekan sebesar 0,1 (uk = 0,1). Tentukan percepatan kedua benda, percepatan sudut katrol, dan tegangan kedua tali ?
Penyelesaian:
      Mk = 10 kg
      m1 = 50 kg
      m2 = 200 kg
      R    = 50 cm = 0,5 m
      g    = 10 m/s²
      uk  = 0,1
a. Percepatan sistem tersebut sebesar:
     a = (m2.g - uk.m1.g) / (½.Mk + m2 + m1)
     a = (200.10 - 0,1.50.10) / (½.10 + 200 + 50 )
     a = (2000 - 50) / (255) = 1950/255
     a = 7,647 m/s²
b. Percepatan sudut putar katrol tersebut sebesar:
     α = a/R = 7,647/0,5 = 15,294 rad/s²
c. Tegangan tali yang menghubungkan katrol dan balok beban massa m1 adalah
    T1 = uk.m1.g + m1.a
    T1 = 0,1.50.10 + 50.7,647
    T1 = 50 + 382,35 =432,35 N.
dan tegangan tali yang menghubungkan katrol dan balok beban massa m2 adalah
    T2 = m2.g - m2.a
    T2 = 200.10 - 200.7,647
    T2 = 2000 -1529,4 = 470,6 N.
Jadi besar tegangan tali sebesar 432,35 N dan 470,6 N.

2. Sebuah katrol silinder pejal/padat bermassa 4 kg dan jari-jari 20 cm dihubungkan dengan dua benda masing-masing memiliki massa m1 = 3 kg dan m2 = 5 kg dan sistem ditahan diam sementara kemudian dilepaskan. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s² dan lantai dibawah m1 dianggap licin, maka percepatan yang dialami kedua massa dan tegangan tali adalah ...
Penyelesaian:
       Mk = 4 kg
       m1 = 3 kg
       m2 = 5 kg
       g    = 10 m/s²
       uk  = 0 (licin)
Percepatan kedua benda sebesar:
     a = (m2.g - uk.m1.g) / (½.Mk + m2 + m1)
     a = (5.10 - 0.3.10) / (½.4 + 5 + 3 )
     a = (50 - 0) / (10) = 50/10
     a = 5 m/s²
Tegangan tali yang menghubungkan katrol dan balok beban massa m1 adalah
    T1 = uk.m1.g + m1.a
    T1 = 0.3.10 + 3.5
    T1 = 0 + 15 = 15 N.
dan tegangan tali yang menghubungkan katrol dan balok beban massa m2 adalah
    T2 = m2.g - m2.a
    T2 = 5.10 - 5.5
    T2 = 50 - 25 = 25 N.
Jadi besar tegangan tali sebesar 15 N dan 25 N.

3. Sebuah katrol silinder berongga bermassa 1 kg dan jari-jari 20 cm dihubungkan dengan dua benda masing-masing memiliki massa m1 = 7 kg dan m2 = 2 kg dan sistem ditahan diam sementara kemudian dilepaskan. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s² dan lantai dibawah m1 dianggap licin, maka percepatan yang dialami kedua massa dan tegangan tali adalah ... (momen inersia I = Mk.R²)
Penyelesaian:
       Mk = 1 kg
       m1 = 7 kg
       m2 = 2 kg
       g    = 10 m/s²
       uk  = 0 (licin)
Percepatan kedua benda sebesar:
     a = (m2.g - uk.m1.g) / (Mk + m2 + m1)
     a = (2.10 - 0.7.10) / (1 + 2 + 7 )
     a = (20 - 0) / (10) = 20/10
     a = 2 m/s²
Tegangan tali yang menghubungkan katrol dan balok beban massa m1 adalah
    T1 = uk.m1.g + m1.a
    T1 = 0.7.10 + 7.2
    T1 = 0 + 14 = 14 N.
dan tegangan tali yang menghubungkan katrol dan balok beban massa m2 adalah
    T2 = m2.g - m2.a
    T2 = 2.10 - 2.2
    T2 = 20 - 4 = 16 N.
Jadi besar tegangan tali sebesar 14 N dan 16 N.
Percepatan sudut putar katrol sebesar:
     α = a/R = 2/0,2 = 10 rad/s²

Sumber:

1. Rufaida, Sufi Ani. 2013. Cara Jitu Menghadapi UN Fisika Untuk SMA/MA. Surakarta: Mediatama.

2. Urip Widodo, dkk. Fisika untuk SMA/MA Kelas XIb. Sagufindo Kinarya.
3. Ketut Lasmi. 2004. Bimbingan Pemantapan Fisika untuk SMA. Bandung: Yrama Widya.
4. Tim Permata. 2016. Fisika Peminatan Ilmu Alam Untuk SMA/MA Kelas XI Semester 1. Surakarta: Cahaya Pustaka.
5. Risdiyani Chasanah, Dhara Nurani, dan Adip Ma'rufu Sururi. 2017. Fisika untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten: Intan Pariwara.