FISIKA MATERI VEKTOR

Memahami dan Mengaplikasikan Materi Vektor

Materi vektor merupakan materi yang sulit dipahami oleh siswa jika tidak dijelaskan materi matematika trigonometri terlebih dahulu. Materi trigonometri terkait dengan notasi sin 𝞪, cos 𝞪, dan tan 𝞪 yang sangat terkait dalam penjabaran vektor pada koordinat Cartesius pada arah sumbu x dan sumbu y. Agar lebih cepat dipahami siswa, sebaiknya siswa dijelaskan konsep sin 𝞪 dan cos 𝞪.

Jika siswa sudah memahami konsep mata, maka kita mengubah konsep tersebut dengan mengganti mata menjadi 𝞪 (alpha), 𝞫 (beta), 𝞬 (gamma) atau simbol lain.

Hasil gambar untuk sin depan per miring mata

Jadi sisi di depan mata atau simbol dinamakan depan.
sisi yang menghadap sudut siku-siku dinamakan miring
sisi antara mata atau simbol dengan sudut siku-siku dinamakan samping
Kemudian dijelaskan konsep trigonometri tentang sin 𝞪, cos 𝞪, dan tan 𝞪.

$sin \alpha =\frac{depan}{miring}$ $cos \alpha =\frac{samping}{miring}$ $tan \alpha =\frac{depan}{samping}$
$sin \alpha =\frac{de}{mi}$ $cos \alpha =\frac{samping}{miring}$ $tan \alpha =\frac{depan}{samping}$

Untuk lebih mudah menghafal biasanya disingkat dalam pembacaannya misalnya sindemi, cossami, dan tandesa. Selanjutnya dijelaskan bahwa depan dianggap y, samping danggap x, dan miring dianggap r.

Kemudian siswa dijelaskan dan diberi contoh dengan cara memberi nilai pada setiap variabel baik x, y, dan r.

Jika dinyatakan dalam bentuk sin 𝛂, cos 𝛂, dan tan 𝛂 diperoleh:
$sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{8}{10}=0,8$ $cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{6}{10}=0,6$
$tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{8}{6}=1,33$
Pada materi vektor, sisi miring r dianggap sebagai vektor utama. Jika r mewakili dari vektor gaya, maka ditulis dengan notasi "F", jika r mewakili dari vektor kecepatan, maka ditulis dengan notasi "v", dan sesuai dengan besaran yang diwakilinya.

Tanda garis miring // menunjukkan panjang bagian/sisi atas atau bawah arah horisontal yaitu x memiliki panjang yang sama. Besar panjang x dari rumus cos 𝛂 dan merupakan komponen vektor yang searah sumbu x adalah:
x = r. cos 𝛂
Tanda garis miring /// menunjukkan panjang bagian/sisi kiri atau kanan arah vertikal yaitu y memiliki panjang yang sama. Besar panjang y dari rumus sin 𝛂 dan merupakan komponen vektor yang searah sumbu y adalah:
y = r. sin 𝛂

Selain pemahaman konsep tersebut, siswa dibekali nilai sin 𝞪, cos 𝞪, dan tan 𝞪 dari sudut-sudut istimewa yang biasa digunakan.

Hasil gambar untuk vektor gaya di kuadran 3

www.wordpress.com

Sudut lain yang dipakai sin 37⁰ = 0,6; sin 53⁰ = 0,8; cos 37⁰ = 0,8; dan cos 53⁰ = 0,6.

1. Sebuah Gaya yang Bekerja di Bidang Koordinat Cartesius
1.a. Penguraian Sebuah Gaya di Koordinat Cartesius Kuadran 1

Hasil gambar untuk vektor gaya di kuadran 1

www.slideshare.net

Sebuah vektor gaya yang bekerja pada kuadran 1 menghasilkan penguraian gaya yaitu searah sumbu x positif sebesar Fx = F. Cos 𝛉 dan searah sumbu y positif sebesar Fy = F. Sin 𝛉.
Misalnya gaya yang bekerja sebesar 10 N dengan sudut sebesar 30⁰ , maka
Fx = F. Cos 𝛉 = 10. Cos 30⁰ = 10. 1/2 $\sqrt{3}$ = 5 $\sqrt{3}$ N
Fy = F. Sin 𝛉 = 10. Sin 30⁰ = 10. 1/2= 5 N

1.b. Penguraian Sebuah Gaya di Koordinat Cartesius Kuadran 2

www.slideshare.net

Sebuah vektor gaya yang bekerja pada kuadran 2 menghasilkan penguraian gaya yaitu searah sumbu x negatif sebesar Fx = F. Cos 𝛉 dan searah sumbu y positif sebesar Fy = F. Sin 𝛉.
Misalnya gaya yang bekerja sebesar 40 N dengan sudut sebesar 30⁰ , maka
Fx = F. Cos 𝛉 = 40. Cos 30⁰ = 40. 1/2 $\sqrt{3}$ = 20 $\sqrt{3}$ N

Fy = F. Sin 𝛉 = 40. Sin 30⁰ = 40. 1/2= 20 N

1.c. Penguraian Sebuah Gaya di Koordinat Cartesius Kuadran 3

www.slideshare.net

Sebuah vektor gaya yang bekerja pada kuadran 3 menghasilkan penguraian gaya yaitu searah sumbu x negatif sebesar Fx = F. Cos 𝛉 dan searah sumbu y negatif sebesar Fy = F. Sin 𝛉.

Misalnya gaya yang bekerja sebesar 60 N dengan sudut sebesar 30⁰ , maka

Fx = F. Cos 𝛉 = 60. Cos 30⁰ = 60. 1/2 $\sqrt{3}$ = 30 $\sqrt{3}$ N

Fy = F. Sin 𝛉 = 60. Sin 30⁰ = 60. 1/2= 30 N

1.d. Penguraian Sebuah Gaya di Koordinat Cartesius Kuadran 4

www.slideshare.net

Sebuah vektor gaya yang bekerja pada kuadran 4 menghasilkan penguraian gaya yaitu searah sumbu x positif sebesar Fx = F. Cos 𝛉 dan searah sumbu y negatif sebesar Fy = F. Sin 𝛉.
Misalnya gaya yang bekerja sebesar 50 N dengan sudut sebesar 30⁰ , maka
Fx = F. Cos 𝛉 = 50. Cos 30⁰ = 50. 1/2 $\sqrt{3}$ = 25 $\sqrt{3}$ N

Fy = F. Sin 𝛉 = 50. Sin 30⁰ = 50. 1/2= 25 N

1.e. Penguraian Gaya di Koordinat Cartesius dengan Sudut antara Vektor dan Sumbu Y

Jika sudut berada di antara vektor dan sumbu y, maka agar lebih mudah dipahami seperti konsep awal dan tidak mengubah rumus awal serta membuat siswa binggung, harus dicatat adalah sudut yang digunakan yaitu sudut antara vektor dan sumbu x. Sehingga 𝛉 = 90⁰- 30⁰ = 60⁰

1.f. Penguraian Gaya Bekerja yang Searah sumbu x di Koordinat Cartesius

Jika gaya bekerja yang searah dengan sumbu x atau membentuk sudut 0⁰ terhadap sumbu x, misalnya gaya sebesar 20 N, hal ini menunjukkan hanya memiliki komponen Fx = 20 N, sedangkan Fy = 0 N, atau dengan rumus diperoleh:

Fx = F. Cos 𝛉 = 20. Cos 0⁰ = 20. 1 = 20 N

Fy = F. Sin 𝛉 = 20. Sin 0⁰ = 20. 0 = 0 N

1.g. Penguraian Gaya Bekerja yang Searah sumbu y di Koordinat Cartesius

Jika gaya bekerja yang searah dengan sumbu y atau membentuk sudut 90⁰ terhadap sumbu x, misalnya gaya sebesar 40 N, hal ini menunjukkan hanya memiliki komponen Fx = 0 N, sedangkan Fy = 40 N, atau dengan rumus diperoleh:

Fx = F. Cos 𝛉 = 40. Cos 90⁰ = 40. 0 = 0 N

Fy = F. Sin 𝛉 = 40. Sin 90⁰ = 40. 1 = 40 N
2. Dua Gaya bekerja di Koordinat Cartesius

Rumus-Rumus Fisika yang digunakan dalam penyelesaian dua gaya atau lebih antara lain:

a) Komponen vektor searah sumbu x:

$\sum F_{x} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; negatif \right )$

b) Komponen vektor searah sumbu y:

$\sum F_{y} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; negatif \right )$

c) Besar Resultan Gaya:

$R = \sqrt{\sum F_{x}^{2} + \sum F_{y}^{2}}$

d) Arah Resultan Gaya:

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{\sum F_{x}}{\sum F_{y}} \right )$

2.a. Dua gaya di kuadran 1 dan kuadran 2
Perhatikan grafik berikut!

Tentukan resultan dan arah resultan dari kedua gaya tersebut!
Pembahasan:

Komponen F1 yang searah sumbu x adalah
F1x = F1. Cos 𝛉 = 40. Cos 30⁰ = 40. 1/2 $\sqrt{3}$ = 20 $\sqrt{3}$ N
Komponen F1 yang searah sumbu y adalah

F1y = F1. Sin 𝛉 = 40. Sin 30⁰ = 40. 1/2= 20 N

Komponen F2 yang searah sumbu x adalah
F2x = F2. Cos 𝛉 = 20. Cos 60⁰ = 20. 1/2= 10 N
Komponen F2 yang searah sumbu y adalah
F2y = F2. Sin 𝛉 = 20. Sin 60⁰ = 40. 1/2 $\sqrt{3}$ = 20 $\sqrt{3}$ N

$\sum F_{x} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; negatif \right )$
𝚺Fx = (F1x) - (F2x)
𝚺Fx = (20 $\sqrt{3}$ - 10) N

$\sum F_{y} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; negatif \right )$
𝚺Fy = (F1y + F2y) - (0 atau tidak ada gaya ke arah y negatif)
𝚺Fy = (20 + 10 $\sqrt{3}$ ) N

Resultan Gaya:

$R = \sqrt{\sum F_{x}^{2} + \sum F_{y}^{2}}$
$R = \sqrt{\left ( 20\sqrt{3} - 10 \right )^{2} + \left (20 + 10\sqrt{3} \right )^{2}}$
$R = \sqrt{400\cdot 3 - 400\sqrt{3}+100+400+400\sqrt{3}+100\cdot 3}$
$R = \sqrt{1200+500+300} = \sqrt{2000} = \sqrt{400\cdot 5} = 20\sqrt{5}$

Untuk $\sqrt{3}$ = 1,7
$\sum F_{x} = 20\sqrt{3}-10 = 34 - 10 = 24$

$\sum F_{y} = 20 + 10\sqrt{3} = 20 + 17 = 37$
Sudut Arah Resultan Gaya:

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{\sum F_{x}}{\sum F_{y}} \right )$

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{37}{24} \right ) = 57^{\circ}$
Jadi arah resultan gaya sebesar 57⁰ dari sumbu x positif.

2.b. Dua gaya di kuadran 1 dan kuadran 3
Perhatikan grafik berikut!

Tentukan resultan dan arah resultan dari kedua gaya tersebut!
Pembahasan:

Komponen F1 yang searah sumbu x adalah
F1x = F1. Cos 𝛉 = 60. Cos 30⁰ = 60. 1/2 $\sqrt{3}$ = 30 $\sqrt{3}$ N
Komponen F1 yang searah sumbu y adalah

F1y = F1. Sin 𝛉 = 60. Sin 30⁰ = 60. 1/2= 30 N

Komponen F2 yang searah sumbu x adalah

F2x = F2. Cos 𝛉 = 30. Cos 60⁰ = 60. 1/2= 15 N

Komponen F2 yang searah sumbu y adalah

F2y = F2. Sin 𝛉 = 30. Sin 60⁰ = 30. 1/2 $\sqrt{3}$ = 15 $\sqrt{3}$ N

$\sum F_{x} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; negatif \right )$

𝚺Fx = (F1x) - (F2x)
𝚺Fx = (30 $\sqrt{3}$ - 15) N

$\sum F_{y} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; negatif \right )$
𝚺Fy = (F1y) - (F2y)
𝚺Fy = (30 - 15 $\sqrt{3}$ ) N

Untuk $\sqrt{3}$ = 1,7
$\sum F_{x} = 20\sqrt{3}-10 = 34 - 10 = 24$

$\sum F_{y} = 20 + 10\sqrt{3} = 20 + 17 = 37$

Resultan Gaya:

$R = \sqrt{\sum F_{x}^{2} + \sum F_{y}^{2}}$
$R = \sqrt{\left ( 30\sqrt{3} - 15 \right )^{2} + \left (30 - 15\sqrt{3} \right )^{2}}$

$R\: =\: \sqrt{36^{2}+4,5^{2}} = \sqrt{1296+20,25} = \sqrt{1316,25} = 36,26\: N$

Sudut Arah Resultan Gaya:

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{\sum F_{x}}{\sum F_{y}} \right )$

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{37}{24} \right ) = 57^{\circ}$

Jadi arah resultan gaya sebesar 7,125⁰ dari sumbu x positif.

2.c. Dua gaya di kuadran 3 dan kuadran 4

Perhatikan grafik berikut!

Tentukan resultan dan arah resultan dari kedua gaya tersebut!
Pembahasan:

Komponen F1 yang searah sumbu x adalah
F1x = F1. Cos 𝛉 = 40. Cos 60⁰ = 40. 1/2= 20 N
Komponen F1 yang searah sumbu y adalah

F1y = F1. Sin 𝛉 = 40. Sin 60⁰ = 40. 1/2 $\sqrt{3}$ = 20 $\sqrt{3}$ N

Komponen F2 yang searah sumbu x adalah

F2x = F2. Cos 𝛉 = 20. Cos 30⁰ = 20. 1/2 $\sqrt{3}$ = 10 $\sqrt{3}$ N

Komponen F2 yang searah sumbu y adalah

F2y = F2. Sin 𝛉 = 20. Sin 30⁰ = 20. 1/2= 10 N

$\sum F_{x} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; x \; negatif \right )$

𝚺Fx = (F1x) - (F2x)
𝚺Fx = (20- 10 $\sqrt{3}$ ) N

$\sum F_{y} = \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; positif \right ) - \left ( \sum gaya\; searah\; sumbu\; y \; negatif \right )$
𝚺Fy = (0 atau tidak ada serarah sumbu y positif) - (F1y+F2y)
𝚺Fy = - (20 $\sqrt{3}$ + 10) N

Untuk $\sqrt{3}$ = 1,7
𝚺Fx = (20- 10 $\sqrt{3}$ ) = 20 - 17 = 3N

𝚺Fy = - (20 $\sqrt{3}$ + 10) = -(34 + 10) = - 44 N

Resultan Gaya:
$R = \sqrt{\sum F_{x}^{2} + \sum F_{y}^{2}}$

$R\: =\: \sqrt{3^{2}+ -44^{2}}\: =\: \sqrt{9+1936}\: =\: \sqrt{1945}\: =\: 44,1\: N$

Sudut Arah Resultan Gaya:

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{\sum F_{x}}{\sum F_{y}} \right )$

$\Theta = \tan ^{-1}\left ( \frac{37}{24} \right ) = 57^{\circ}$

Jadi arah resultan gaya sebesar -86⁰ dari sumbu x positif atau 86⁰ searah arah jarum jam di kuadran 4.

Resultan dari Jumlah Kedua Vektor:

rumus penjumlahan vektor dengan metode jajar genjang

Resultan dari Selisih Kedua Vektor:

rumus pengurangan vektor dengan metode jajar genjang

SOAL DAN PEMBAHASAN/PENYELESAIAN
1. Perhatikan vektor gaya di bawah ini!

Jika nilai F = 2 N, nilai komponen vektor pada sumbu x dan sumbu y yang tepat adalah ...
a. Fx = 1 N d. Fx = -1 N
Fy = $\sqrt{3}$ N Fy = - $\sqrt{3}$ N
b. Fx = 1 N e. Fx = $\sqrt{3}$ N
Fy = - $\sqrt{3}$ N Fy = -1 N
c. Fx = $\sqrt{3}$ N
Fy = 1 N

Pembahasan:

Fx = F. Cos 𝛉 = 2. Cos 60⁰ = 2. 1/2 = 1 N

Fy = F. Sin 𝛉 = 2. Sin 60⁰ = 2. 1/2 $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$ N

2. Perhatikan vektor gaya di bawah ini!

Pada gambar diatas, Fy = komponen gaya F pada sumbu Y. Jika Fy = 2 N, komponen gaya pada sumbu X sebesar ... N

a. 2/3 $\sqrt{3}$ d. 4

b. 2 $\sqrt{3}$ e. 4 $\sqrt{3}$
c. 2 $\sqrt{3}$
Pembahasan:
Fy = F. Sin 𝛉
2 = F. Sin 60⁰
2 = F. 1/2 $\sqrt{3}$
$F = \frac{2}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} N$
$Fx = F. Sin 60^{\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{2}{3}\sqrt{3} N$
3. Kapal yang berlayar di kanal ditarik dengan dua gaya dari sisi kiri dan kanan. Setiap gaya sebesar 1.200 N. Kedua gaya membentuk sudut 45 terhadap arah mendatar. Nilai komponen vektor pada sumbu x di sisi kiri kapal sebesar ... N.
a. 600. d. 1200
b. 600. e. 2.400
c. 1.200
Pembahasan:

4. Dua buah vektor yang besarnya sama memiliki perbandingan jumlah dan selisih vektor $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ .
Sudut apit kedua vektor tersebut adalah....
a. 60⁰
b. 30⁰
c. 150⁰
d. 120⁰
e. 45⁰
Pembahasan:

5. Gaya-gaya berikut bekerja pada suatu benda: 7 N ke utara, 20 N berarah 37 dari timur, dan 4 N ke barat. Besar resultan ketiganya adalah.... (sin 37 = 0,6)
a. 5 N
b. 10 N
c. 13 N
d. 22,5 N
e. 25 N
Pembahasan:

6. Perhatikan gambar di bawah ini, jika resultan ketiga buah vektor adalah 5 N, besarnya vektor P adalah....
a. 20 N atau 15 N
b. 5 N atau 15 N
c. 10 N atau 5 N
d. 12 N atau 10 N
e. 12 N atau 15 N
Pembahasan:

7. Dua buah vektor A dan B memiliki besar yang sama. Jika besar resultan kedua vektor sama dengan vektor A dan B tersebut, maka sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah...
a. 30⁰
b. 45⁰
c. 120⁰
d. 150⁰
e. 60⁰
Atau
Besar selisih dan jumlah dua buah vektor adalah sama, sudut apitnya adalah ...
a. 0⁰
b. 60⁰
c. 90⁰
d. 120⁰
e. 180⁰
Pembahasan:

8. Ditentukan 2 buah vektor yang besarnya sama dengan F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan $\sqrt{3}$ , maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah ...
a. 0⁰
b. 30⁰
c. 45⁰
d. 60⁰
e. 90⁰
Pembahasan:

9. Tiga buah gaya pada gambar masing-masing besarnya F1 = 8 N, F2 = 4 N, dan F3 = 8 N tersusun seperti pada gambar berikut. Resultan ketiga gaya ini adalah....
a. 4 N
b. 12 N
c. 8 $\sqrt{3}$ N
d. 8 $\sqrt{3}$ + 8 N
e. 8 $\sqrt{3}$ + 12 N
Pembahasan: