MATRIKS TRANSFORMASI 2

Soal dan Pembahasan/Penyelesaian Matematika Matriks Transformasi

2. Bayangan Garis
a. Tentukan bayangan garis x-2y-5=0 bila ditransformasikan $\begin{vmatrix} 3 & 5\\ -1 & -2 \end{vmatrix}$ adalah …
Pembahasan:
x’ dan y’ merupakan bayangan x dan y melalui invers matriks karena
diperoleh dengan melibatkan variabel x dan y.
   $\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 5\\ -1 & -2 \end{vmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
Kita ingin menentukan x dan y yang diperoleh melalui:

   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$    $\frac{1}{\left ( 3.-2 \right )-\left ( 5.-1 \right )}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$    $\frac{1}{\left ( -6\right )-\left ( -5 \right )}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$    $\frac{1}{-6+5}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$ $\frac{1}{-1}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$ $\begin{vmatrix} 2 &5 \\ -1 & -3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x'+5y'\\ -1x'-3y' \end{vmatrix}$

diperoleh x = 2x’+5y’ dan y = -1x’-3y’,
sehingga dimasukkan ke persamaan garis dengan mengganti x dan y maka:
x-2y-5 = 0
(2x’+5y’)-2(-1x’-3y’)-5 = 0
2x’+5y’+2x’+6y’-5 = 0
4x’+11y’-5 = 0
Kemudian mengubah kembali variabel x’ menjadi x dan y’ menjadi y.
Jadi bayangan garisnya adalah 4x+11y-5=0.

b. Tentukan bayangan garis 5x+7y-7=0 bila ditransformasikan $\begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{vmatrix}$ adalah …
Pembahasan:
x’ dan y’ merupakan bayangan x dan y melalui invers matriks karena
diperoleh dengan melibatkan variabel x dan y.
   $\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}= \begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
Kita ingin menentukan x dan y yang diperoleh melalui:

   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$    $\frac{1}{\left ( 5.1 \right )-\left ( 2.3 \right )}\begin{vmatrix} 1 &-2 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$    $\frac{1}{\left ( -6\right )-\left ( -5 \right )}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$    $\frac{1}{-6+5}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$ $\frac{1}{-1}\begin{vmatrix} -2 &-5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}$
   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=$ $\begin{vmatrix} 2 &5 \\ -1 & -3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x'+5y'\\ -1x'-3y' \end{vmatrix}$

diperoleh x = -1x’+2y’ dan y = -3x’-5y’,
sehingga dimasukkan ke persamaan garis dengan mengganti x dan y maka:

5x+7y-7 = 0

5(-1x’+2y’)+7(3x’-5y’)-7 = 0

-5x’+10y’+21x’-35y’-7 = 0

16x’+-25y’-7 = 0

Kemudian mengubah kembali variabel x’ menjadi x dan y’ menjadi y.

Jadi bayangan garisnya adalah 16x -35y -7 = 0.

c. Tentukan bayangan garis 2x - y + 3 = 0 bila ditransformasikan $\begin{vmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1 \end{vmatrix}$ adalah …
Pembahasan:
x’ dan y’ merupakan bayangan x dan y melalui invers matriks karena
diperoleh dengan melibatkan variabel x dan y.
   $\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\: =\: \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
Kita ingin menentukan x dan y yang diperoleh melalui:

   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\: =\: \frac{1}{1\cdot 5-2\cdot 2}\begin{bmatrix} 5 &-2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}$

   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\: =\: \frac{1}{5-4}\begin{bmatrix} 5 &-2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}$

   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\: =\: \frac{1}{1}\begin{bmatrix} 5 &-2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\: =\: \begin{bmatrix} 5 &-2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}$

   $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\: =\:\begin{bmatrix} 5x'-2y'\\ -x'+1y' \end{bmatrix}$

diperoleh x = 5x’-2y’ dan y = -2x’+ 1y’,
sehingga dimasukkan ke persamaan garis dengan mengganti x dan y maka:

2x - y + 3 = 0

2(5x’-2y’) - (-2x’+ 1y’) + 3 = 0

10x’- 4y’+ 2x’ - 1y’ + 3 = 0

12x’- 5y’ + 3 = 0

Kemudian mengubah kembali variabel x’ menjadi x dan y’ menjadi y.

Jadi bayangan garisnya adalah 12x -5y + 3 = 0.

Search This Blog

SISWA TEKUN BELAJAR

MATRIKS TRANSFORMASI 2

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pipa Organa Terbuka dan Tertutup

Simpangan rata-rata, Ragam Variansi, Simpangan Baku Statistika Matematika

Gerak Rotasi Suatu Benda Pada Katrol Fisika